貨幣時間價值

貨幣價值指標

錢有時間價值，因為經濟成長、通貨膨脹，1 元的購買力會隨著時間變化。錢也可以在一段時間內投資、儲蓄賺取利息。利息是資金的時間成本，借款人需要支付利息作為資金使用的代價，而貸款人則透過利息獲得報酬。例如，當我們將資金存入銀行，實際上是將資金借給銀行，而銀行再將資金貸放給其他借款人，並從中賺取利差。因為有些時候是需要現金流的，如果手邊沒有，那麼就要跟別人借。央行藉由調整利息穩定經濟成長避免通膨，至於央行如何透過利率調控來避免通膨，這部分我也還在研究，如果你知道請留言和我分享。假使升息，那借款的成本會增加，並讓大家會更願意把錢存在銀行賺利率；降息就是要讓大家把錢拿出去花促進經濟發展，拿去買東西、投資創造價值。

有了利息，這裡會提到幾個重要指標

• 複利終值（FV）
• 複利現值（PV）
• 年金終值（FVA）
• 年金現值（PVA）

複利終值 （FV, Future Value）

• 把現在的貨幣價值折算到未來某個時間
• Q:存入銀行的 $1000 元，在利率 2% 時放五年，存款會變成：

$$1000\times(1+0.02)^{5}=1,104$$

• 通式

$$(1+r)^{n}$$

複利現值 （PV, Present Value）

• 把未來某個時間點的貨幣價值折算到現在
• Q:五年後的 $1000 元，在利率 2% 時，現在的價值：

$$1000\div(1+0.02)^{5}=905$$

• 記做$1000\times PV(5,2\%)=905$
• 通式

$$\frac{1}{(1+r)^{n}}$$

年金終值 （FVA, Future Value of Annuity）

• 將各期所得（所付）的貨幣價值折算到未來的某個時間

提示

年金就是定期定額的投資，現在有向商品每個週期投入 500 元面額，不管未來通膨的怎樣，都是每個週期付 500 元

• Q:未來 5 年每年存（付出） $1000 元，在利率 2% 時求五年後的存款（付出）總額

這個問題就比較有意思了，這裡是期末存款，所以利息只會滾四次， 0 期沒有錢，第 5 期存入後不會算到利息。 第一期存入的錢會經過四期的複利，第二期存入的錢會經過三期的複利，依此類推。

第 1 期：$1000\times(1+0.02)^{4}=1082$

第 2 期：$1000\times(1+0.02)^{3}=1061$

第 3 期：$1000\times(1+0.02)^{2}=1040$

第 4 期：$1000\times(1+0.02)^{1}=1020$

第 5 期：$1000\times(1+0.02)^{0}=1000$

最後加總五期$1082+1061+1040+1020+1000=5203$

• 這一連串的運算，記做 $1000*FVA(5,2\%)=5203$
• 通式

$$\frac{(1+R)^{n}-1}{r}$$

年金現值 （PVA, Present Value of Annuity）

• 將外來各期所得（所付）的貨幣價值折算到現在
• Q：未來 5 年每年存（付出） $1000 元，問現在價值：

第 1 期：$\div(1+2\%)^{1}=980$

第 2 期：$\div(1+2\%)^{2}=961$

第 3 期：$\div(1+2\%)^{3}=952$

第 4 期：$\div(1+2\%)^{4}=924$

第 5 期：$\div(1+2\%)^{5}=906$

最後加總五期$980+961+952+924+906=4713$

• 這一連串的運算，記做 $1000*PVA(5,2\%)=4713$
• 通式：

$$\frac{1-\frac{1}{(1+r)^{n}}}{r}$$

應用

• FV
  • 定存到期日總金額
• PV
  • 定存現值
• FVA
  • 保險、定額基金
• PVA
  • 貸款期付金

提示

期付金（PMT）就是年金一期需要付的錢

定存怎麼選

上個月去台灣銀行申請定存發現我完全看不懂申請單上的選項，當時覺得都差不多就先隨便勾了一個並選時間沒那麼長的方案，那時候銀行要準備送客下班了，也沒那麼多時間瞭解這麼多，既然學了怎麼算貨幣終值，就可以來想想怎麼存定存利息比較多。

存本取息

一次存入一筆錢，時間沒到都不能拿出來。每月發利息，期末領回本金。

• 條件： 一次存入 120000 元，存款期間 2 年，年利率 3%，每月結息，沒有複利（單利）。

按鍵步驟（END 模式）

1. 輸入初始本金： 120000 → [PV]
2. 輸入月利率： 0.25 → [I/Y]
3. 輸入期數： 24 → [N]
4. 計算每月支付的利息（PMT）： [CPT] → [PMT]

$$PMT = 120000 \times \frac{0.03}{12} = 300$$

• 利息： 300*24=7200

整存整付

一次存入一筆錢，時間沒到都不能拿出來。會有複利，利息和本金會在時間到的時候一起還你。

• 條件： 一次存入 120000 元，存款期間 2 年，年利率 3%，每月複利。

按鍵步驟

1. 輸入初始本金： 120000 → [+/-] → [PV]
2. 輸入月利率： 0.25 → [I/Y]
3. 輸入期數： 24 → [N]
4. 計算最終本利和（FV）： [CPT] → [FV]

$$FV = 120000 \times \left(1 + \frac{0.03}{12} \right)^{24} = 127410.8$$

• 利息： 7411

零存整付

零存，一開始沒有存任何錢，接著按月分次存入固定的金額，利息以當時的本金按月算。

• 條件： 每月存入 5000 元，存款期間 24 個月，年利率 3%，利息每月複利計算（最後一個月不算利息）。

按鍵步驟（BGN 模式）

1. 輸入每月存款金額： 5000 → [+/-] → [PMT]
2. 輸入月利率： 0.25 → [I/Y]
3. 輸入期數： 24 → [N]
4. 計算最終本利和（FV）： [CPT] → [FV]

$$FV = 5000 \times \frac{(1.0025)^{24} - 1}{0.0025} \times 1.0025 = 123822.8$$

• 利息： 3823

結論

銀行的定存計算機還蠻賤的，三種存法舉的例子提到的本金、利率和期數都設不一樣，就是不想讓我們看出哪種方法比較划算。 在上面的例子：整存整付>存本取息>零存整付，但在利率相同的情況下，假如你給零存整付的時間比較長（複利比較多次），是有機會高過存本取息的。

參考資料

• 上課影片
• 金融計算機使用教學
• 合作金庫-定存計算機